Operazioni Aritmetiche Binarie

Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione nel sistema a base 2

Nel sistema binario esistono solo due cifre: 0 e 1. Tutte le operazioni seguono le stesse regole dell’aritmetica decimale, ma con una base diversa. Ricorda la regola fondamentale:

1 + 1 = 10 in binario (cioè 0 con riporto di 1)

1. Addizione Binaria

Le regole base dell’addizione binaria:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10  (0 con riporto 1)
1 + 1 + 1 = 11  (1 con riporto 1)

Esempio 1:  1011 + 1101

    1 1 1  
    1 0 1 1  (11)
+  1 1 0 1  (13)
─────────
  1 1 0 0 0  (24) ✓

Esempio 2:  1110 + 0111

    1 1 1  
    1 1 1 0  (14)
+  0 1 1 1  (7)
─────────
   1 0 1 0 1  (21) ✓

Esempio 3:  10110 + 01011

   1 1 1   
   1 0 1 1 0  (22)
+ 0 1 0 1 1  (11)
───────────
 1 0 0 0 0 1  (33) ✓

2. Sottrazione Binaria

Le regole della sottrazione (metodo diretto con prestito):

0 − 0 = 0
1 − 0 = 1
1 − 1 = 0
0 − 1 = 1  (con prestito dalla cifra a sinistra)

Esempio 1:  1101 − 1001

     1 1 0 1  (13)
 -   1 0 0 1  (9)
─────────
     0 1 0 0  (4) ✓

Esempio 2:  10010 − 01011

   1 0 0 1 0  (18)
− 0 1 0 1 1  (11)
───────────
    0 0 1 1 1  (7) ✓

Sottrazione con il Complemento a 2

Il complemento a 2 permette di trasformare la sottrazione in un’addizione. I passi sono:

1. Complemento a 1: inverti tutti i bit del sottraendo (0→1, 1→0)
2. Complemento a 2: aggiungi 1 al complemento a 1
3. Somma il minuendo con il complemento a 2
4. Se c’è un riporto finale oltre il numero di bit, scartalo → il risultato è positivo

Esempio 1:  1101 − 1001  (13 − 9 = 4)

Sottraendo:      1 0 0 1
Complemento a 1:  0 1 1 0  (inverti i bit)
Complemento a 2:  0 1 1 1  (+1)

   1 1 0 1
+ 0 1 1 1
─────────
1 0 1 0 0  → scartiamo il riporto → 0100 = 4 ✓

Esempio 2:  10110 − 01011  (22 − 11 = 11)

Sottraendo:      0 1 0 1 1
Complemento a 1:  1 0 1 0 0
Complemento a 2:  1 0 1 0 1  (+1)

   1 0 1 1 0
+ 1 0 1 0 1
───────────
1 0 1 0 1 1  → scartiamo il riporto → 01011 = 11 ✓

Esempio 3:  11000 − 00101  (24 − 5 = 19)

Sottraendo:      0 0 1 0 1
Complemento a 1:  1 1 0 1 0
Complemento a 2:  1 1 0 1 1  (+1)

   1 1 0 0 0
+ 1 1 0 1 1
───────────
 1 1 0 0 1 1  → scartiamo il riporto → 10011 = 19 ✓

3. Moltiplicazione Binaria

Funziona come in decimale: moltiplica per ogni cifra e somma i prodotti parziali spostati.

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

Esempio 1:  101 × 11  (5 × 3 = 15)

    1 0 1
×    1 1
─────────
    1 0 1  (101 × 1)
  1 0 1 ·  (101 × 1, shift)
─────────
  1 1 1 1  (15) ✓

Esempio 2:  110 × 101  (6 × 5 = 30)

     1 1 0
×   1 0 1
───────────
     1 1 0  (110 × 1)
   0 0 0 ·  (110 × 0)
  1 1 0 · ·  (110 × 1)
───────────
1 1 1 1 0  (30) ✓

Esempio 3:  1001 × 110  (9 × 6 = 54)

      1 0 0 1
×      1 1 0
─────────────
      0 0 0 0  (1001 × 0)
     1 0 0 1 ·  (1001 × 1)
    1 0 0 1 · ·  (1001 × 1)
─────────────
1 1 0 1 1 0  (54) ✓

4. Divisione Binaria

La divisione binaria funziona come la divisione lunga in decimale. Ad ogni passo, verifica se il divisore “entra” nel dividendo parziale.

Esempio 1:  1100 ÷ 10  (12 ÷ 2 = 6)

1100 ÷ 10 = ?

1 ÷ 10 → 0 (10 non entra in 1)
11 ÷ 10 → 1, resto 1
10 ÷ 10 → 1, resto 0
00 ÷ 10 → 0, resto 0

Quoziente: 110 (6)   Resto: 0 ✓

Esempio 2:  10111 ÷ 11  (23 ÷ 3 = 7 resto 2)

10111 ÷ 11 = ?

1 ÷ 11 → 0
10 ÷ 11 → 0
101 ÷ 11 → 1, resto 10
101 ÷ 11 → 1, resto 10
101 ÷ 11 → 1, resto 10

Quoziente: 111 (7)   Resto: 10 (2) ✓

Esempio 3:  11010 ÷ 101  (26 ÷ 5 = 5 resto 1)

11010 ÷ 101 = ?

1 ÷ 101 → 0
11 ÷ 101 → 0
110 ÷ 101 → 1, resto 1
11 ÷ 101 → 0
110 ÷ 101 → 1, resto 1

Quoziente: 101 (5)   Resto: 1 (1) ✓

Esercizi

Addizione

1.  1010 + 0111
2.  11011 + 10110
3.  1111 + 0001

Sottrazione

4.  1110 − 0101 (metodo diretto)

Complemento a 2

5.  1101 − 0100 (complemento a 2)
6.  10000 − 00111 (complemento a 2)

Moltiplicazione

7.  1010 × 11
8.  1100 × 101