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Il crivello di Eratostene è un algoritmo, piuttosto antico, per il calcolo dei numeri primi. L’ideatore del crivello è stato il matematico Eratostene di Cirene da cui appunto deriva il nome.

Essendo un metodo piuttosto semplice, viene spesso implementato in molti linguaggi di programmazione a scopo didattico.

In questa lezione proponiamo il crivello di Eratostene in linguaggio C, sviluppato con le funzioni e gli array.


Metodo del crivello di Eratostene

Il metodo per trovare i numeri primi consiste nello scrivere i numeri naturali da 2 fino ad n. Dopo si cancellano tutti i multipli del primo numero, poi quelli del secondo e così via.

Facciamo un esempio con n=20. Avremo:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Iniziamo cancellando tutti i multipli di 2, evidenziandoli di rosso:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Quindi ecco i numeri rimasti:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

Adesso prendiamo il numero successivo alla lista che è il numero 3 e togliamo quindi tutti i multipli di 3:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

E così via, ma non essendoci più multipli, i numeri restanti sono:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Quindi ecco i numeri primi da 2 a 20.

Sviluppo del crivello di Eratostene in linguaggio C

Implementiamo il crivello con un programma in C. Vi presento sotto il listato e poi vi spiego l’algoritmo passo passo.

Ecco dunque il listato completo del crivello di Eratostene:

#include <stdio.h>

#define N 1000

int insert(int *v) {
  	int i, n;
  	
  	printf("Quanti numeri n: ");
  	scanf("%d", &n);
  	
 /*generiamo un vettore con tutti i numeri 0 dove l'indice i va da 2 ad n*/
  	for(i=2; i<=n; i++)
  		v[i]=0;
   
  	return n;
}

void eratostene(int *v, int n) {
  	int i,j;
  	
 	for(i=2; i<=n; i++)
		if(v[i]==0) //se l'elemento v[i] è zero
    		         for(j=2*i; j<=n; j+=i) 
//imposto v[j] a 1, cioè escludo i suoi multipli
    				v[j]=1; 
    		
}

void print(int *v, int n) {
	int i;
  
	for(i=2; i<=n; i++) 
	     if(v[i]==0) //se il numero è primo
    		  printf("%d\t",i);   //stampo i risultati 
}

int main() {
	int a[N],n;
	
	n=insert(a);
	eratostene(a,n);
	print(a,n);
	
  return 0;
}

Per implementare l’algoritmo del crivello di Eratostene quindi faremo uso dei vettori e delle funzioni (potevo anche farne a meno, ma volevo consolidarne l’uso).

Quindi chiediamo quanto deve essere n, ovvero fino a quale numero calcolare i numeri primi e con un ciclo for inizializziamo l’array con tutti i numeri 0.

L’array avrà l’indice che va da 2 a n.

Adesso dobbiamo trovare i numeri primi e per farlo prendiamo in considerazione il primo numero con indice 2. Controlliamo se ci sono multipli di 2 e se vero settiamo l’elemento a 1.

Agiamo dunque così:

for(i=2; i<=n; i++)              i=2
    if(v[i]==0)                        vero
       for(j=2*i; j<=n; j+=i)    j=4
           v[j]=1;                        v[4]=1; 

j=j+i cioè j=4+2=6

dato che j<=n, cioè 4<=20 è vera, continuiamo il ciclo interno.

       for(j=2*i; j<=n; j+=i)     j=6
           v[j]=1;                         v[6]=1;

dato che j<=n, cioè 6<=20 è vera, continuiamo il ciclo interno.

j=j+i cioè j=6+2=8

procediamo analogamente per gli altri numeri e quindi: v[8]=1, v[10]=1, v[12]=1, v[14]=1, v[16]=1, v[18]=1, v[20]=1 in questo caso avremo che il passo successivo è j=j+2, cioè j=22 e la condizione j<=n non è più verificata. Pertanto si procede ad incrementare i dal ciclo più esterno.

Adesso dunque i=3

for(i=2; i<=n; i++)               i=3
    if(v[i]==0)                         vero
       for(j=2*i; j<=n; j+=i)     j=6
           v[j]=1;                         v[6]=1; //in realtà già era stata calcolato

j=j+i cioè j=6+3=9

dato che j<=n, cioè 9<=20 è vera continuiamo il ciclo interno.

for(j=2*i; j<=n; j+=i)            j=9
           v[j]=1;                         v[9]=1;

dato che j<=n, cioè 9<=20 è vera continuiamo il ciclo interno.

j=j+i cioè j=9+3=12

procediamo analogamente per gli altri numeri e quindi: v[12]=1, v[15]=1, v[18]=1 in questo caso avremo che il passo successivo è j=j+3, cioè j=21 e la condizione j<=n non è più verificata. Pertanto si procede ad incrementare i dal ciclo più esterno.

Si procede dunque con i=4 ma in questo caso if(v[i]==0) risulta falsa in quanto avevamo impostato v[4]=1; quindi si incrementa nuovamente i che diventa 5 e si procede con lo stesso ragionamento di prima.

Al termine quelli rimasti sono i numeri primi e li stampiamo semplicemente con queste istruzioni:

for(i=2; i<=n; i++)
       if(v[i]==0) //se il numero è primo
            printf(“%d\t”,i); //stampo i risultati

Cioè scorriamo tutto l’array, se l’elemento contenuto in esso è zero, vuol dire che il numero è primo, dunque stampo l’indice.

Notiamo anche che, se volessimo invece stampare tutti i numeri non primi, basterebbe impostare:

for(i=2; i<=n; i++) 
	if(v[i]==1) //se il numero non è primo
    		  printf("%d\t",i);   //stampo i risultati

Questo è solo un possibile esempio di come impostare l’algoritmo che rappresenta il calcolo dei numeri primi con il crivello di Eratostene.

Alcuni link utili

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